Історія розвитку поняття “функція”

Історія розвитку поняття “функція”
 

Історія розвитку поняття функції.
Функція - одне з основних математичних і загальнонаукових понять. Воно зіграло й понині відіграє більшу роль у пізнанні реального миру.

Пропедевтичний період (з найдавніших часів до 17 століття). 
Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.

Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.)
Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. 
Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.
Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). 
В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. 

Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття).   
Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем  в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y).
Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s).
Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.
В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”.
Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.
Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями?
Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. 
Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.

Ідея відповідності (19 століття).  
В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”.
Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано.  Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”.
Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x).
Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.
У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін.
Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.

Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...).
Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст.
У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.

Методичні рекомендації
    Шкільний курс вивчення функції будується за аналогією з розвитком в історії поняття функції.
    До 7 класу йде нагромадження знань , необхідних для введення поняття функції. Розглядаються залежності площ фігур від довжини їхніх сторін , радіусів; вирішуються завдання,  у яких одна величина залежить від інший і т.д. Цей курс можна назвати пропедевтичним.     
В 7 класі вперше дається визначення поняття “функція”.
Дається визначення функції на основі ідеї залежності й відповідності однієї величини від іншої. Після введення визначення поняття можна розповісти про те, де люди зустрічалися з функціональними залежностями, хто вперше ввів цей термін і що означає саме слово “функція”. Також у цьому класі вивчаються різні способи завдання функції. Можна більш докладно розповісти про табличний спосіб завдання функції як про найбільш старому: привести приклади з історії математики, розповісти про значення й роль математичних таблиць для математиків минулих сторіч. Прикладами можуть служити таблиці квадратів, кубів чисел, арифметичних і квадратних корінь, які учні можуть побачити на форзацах своїх підручників, якими вони будуть користуватися пізніше.
    Трохи пізніше можна познайомити учнів з тим, що функція може бути не тільки від однієї змінної, але й від декількох. Корисно буде розповісти про французького математика Николе Ореме і його роботі “Про конфігурацію якості”, у якій він висловив ідею функціональної залежності від однієї, двох і трьох змінних і її графічному зображенні.
    В 9 класі ще раз дається визначення функції на основі ідеї залежності однієї змінної від іншої: “Функцією називають таку залежність змінної y від змінної x, при якій кожному значенню змінної x відповідає єдине значення змінної y”. Можна дати учнем завдання простежити в історії математики, на якому етапі розвитку поняття функції з'являється таке визначення й хто його вводить. Крім того, у цьому класі вводиться символічне позначення функції. Учнем необхідно розповісти, хто ввів цей запис.
    В 10-11 класах уводиться сучасне поняття функції як відповідність між двома безлічами: “числовою функцією з областю визначення D називається відповідність, при якому кожному числу x з безлічі D зіставляється за деяким правилом число y, що залежить від D”. Знову потрібно простежити, коли з'являється вперше таке визначення, у чому його відмінність від раніше існуючих.
    Одному-двом учнем можна запропонувати підготувати доповідь на тему: “Історія розвитку поняття функції”. Можна дати порівняння вже відомих їм визначень функції з новим визначенням після того, як ця доповідь буде представлений у класі.
    Потрібно нагадати учнем про те, що математика виникла із практичних потреб людини, звідси необхідне введення нового визначення функції. Тут потрібно сказати про проблему, з якої зштовхнулися фізики, зокрема, Поля Дирак; згадати його функцію-дельта-функцію, що виходить далеко за рамки класичного визначення функції. Необхідно також сказати про роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явища.
    Потрібно також сказати й про те, що на цьому розвиток поняття функції не зупинилося (поняття узагальненої функції) і, швидше за все, буде змінюватися далі, пристосовуючись до потреб науки. 

Додаток
Бернуллі Иоганн (1667-1748 р.)
Швейцарський математик. Був співробітником Лейбница в розробці диференціального й інтегрального обчислень, в області яких їм був зроблений ряд відкриттів. Дав перший систематичний виклад диференціального й інтегрального обчислень, просунув розробку методів рішення звичайних диференціальних рівнянь, поставив класичне завдання про геодезичні лінії й знайшов характерну геометричну властивість цих ліній, а пізніше вивів їхнє диференціальне рівняння.

Больцано Бернард (1781-1848 р.)
Чеський математик, філософ, теолог. Першим (1817) висунув ідею арифметичної теорії дійсного числа. У його творах можна знайти ряд фундаментальних понять і теорем аналізу, зв'язуються звичайно з більше пізніми дослідженнями інших математиків. В “Парадоксах нескінченного” (изд.1851) Больцано з'явився попередником Кантора в дослідженні нескінченних безлічей.

Даламбер Жан Лерон (1717-1783 р.)
Французький математик, механік філософ. Основні математичні дослідження ставляться до теорії звичайних диференціальних рівнянь. Дав (1748) метод рішення диференціального рівняння другого порядку із частками похідними, що виражає малі коливання нескінченної однорідної струни (хвильового рівняння), у вигляді суми двох довільних функцій. Йому належать також важливі результати в теорії звичайних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами й систем таких рівнянь першого й другого порядків. У теорії рядів його ім'я носить широко вживана достатня ознака збіжності. В алгебрі дав перше (не цілком строге) доказ основної теореми про існування кореня в алгебраїчного рівняння. Багато праці вклав в “Енциклопедію наук, мистецтв, ремесел”, для якої він написав всю фізико-математичну частину.

Декарт Рене (1596-1650 р.)
Французький філософ, математик, фізик. Він є одним з основоположників аналітичної геометрії. У його головній математичній праці “Геометрія” (1637) уперше уведена поняття змінної величини, створений метод координат (декартовы координати), уведені загальноприйняті тепер значки для змінних величин (x,y,z,...) буквених коефіцієнтів (a,b,c,...), ступенів (x3, a5,...). Декарт поклав початок ряду досліджень властивостей рівнянь; сформулював правило знаків для визначення числа позитивних і негативних корінь (правило Декарта); порушив питання про границі дійсних корінь і висунув проблему приводимости (подання цілої раціональної функції з раціональними коефіцієнтами у вигляді добутку двох функцій такого ж роду); указав, що рівняння третього ступеня розв'язно у квадратних радикалах і його коріннях перебувають за допомогою циркуля й лінійки, коли воно приводимо.

Дирак Поль Адриен Моріс
 (1902-1984 р.)
Англійський фізик-теоретик, один із засновників квантової механіки. Основні праці в математику по функціональному аналізі й математичній фізиці (рівняння Дирака, функція-дельта-функція Дирака, статистика Ферми-Дирака). Нобелівська премія (1933).

Дирихле Петер Густав Лежен (1805-1859 р.)
Німецький математик. Основні праці по теорії чисел і математичному аналізу. Уперше точно сформулював і досліджував поняття умовної збіжності ряду (так звана ознака Дирихле), дав (1829) строгий доказ можливості розкладання в ряд Фур'є функцій, що має кінцеве число максимумів і мінімумів.

Лейбниц Готфрид Вільгельм
 (1646-1716 р.)
Німецький математик, фізик, філософ, винахідник, історик, мовознавець. У математику його найважливішою заслугою є розробка (поряд з Ньютоном) диференціального й інтегрального обчислення. Дав визначення диференціала й інтеграла, розробив правила диференціювання суми, різниці, добутку, частки будь-якого постійного ступеня, дав визначення екстремальних крапок і крапок перегину, установив взаємно зворотний характер основних операцій аналізу - диференціювання й інтегрування. Заклав основи теорії рядів і теорії диференціальних рівнянь. Їм запропоновані математичні символи й терміни, що ввійшли в загальне застосування - функція, диференціал, диференціальні рівняння, алгоритм, координати, алгебраїчні й трансцендентні криві, модель і ін. Винайшов рахункову машину й перший інтегруючий механізм, передбачив деякі ідеї матлогики, виклав початку теорії визначників.

Лобачевский Микола Іванович (1792-1856 р.)
Російський математик. Творець (1826) неевклідової геометрії. Дав (1834) метод наближеного рішення алгебраїчних рівнянь вищих ступенів; вніс значний вклад у теорію визначників. В області аналізу Лейбниц одержав нові результати в теорії тригонометричних рядів. Їм же встановлений один з найбільш зручних методів наближеного рішення рівнянь (метод Лобачевского).

Ньютон Исаак (1643-1727 р.)
Англійський фізик, математик, механік і астроном. Одночасно з Лейбницем, але незалежно від нього, розробив диференціальне й інтегральне обчислення. Створюючи математикові безперервних процесів, Ньютон в основу поняття флюксии (похідній) і флюенты (інтеграла). У роботі “Аналіз за допомогою рівнянь із нескінченним числом членів” (1669, опубл.1711) даний метод обчислень і обчислень функцій - наближення нескінченними рядами, що мав згодом величезне значення для всього аналізу і його додатків.  У цій же праці викладений метод чисельного рішення алгебраїчних (метод Ньютона). Найбільш повний виклад диференціального й інтегрального обчислення втримується в трактаті “Метод флюксий і нескінченних рядів” (1670-71, опубл.1736), у якому в механічних і математичних вираженнях сформульовані обидві взаємно зворотні завдання аналізу, застосований метод флюксий, до многим геометричних завдань, вирішені завдання інтегрування звичайних диференціальних рівнянь шляхом подання рішення у вигляді нескінченного статечного ряду, дана формула (біном Ньютона) для будь-якого дійсного показника.

Репетуємо Никола (ок.1323-1382 р.)
Французький математик, фізик і економіст. Довів (ок.1350) расходимость гармонійного ряду. В 1368 р. виклав вчення про ступінь із дробовими показниками. Написаний ним “Трактат про сферу” зіграв значну роль у розробці французькій наукової (астрономічної й географічної) термінології.

Соболєв Сергій Львович 
(рід. в 1908р.)
    Радянський математик. Основні праці по теорії рівнянь із частками похідними, математичній фізиці, функціональному аналізу й обчислювальній математиці. Запропонував новий метод рішення гіперболічних рівнянь із частками похідними, спільно зі Смирновим В.И. розробив метод інваріантних-функціонально-інваріантних рішень для динамічних коливань шаруватих середовищ. Їм почате систематичне застосування функціонального аналізу в теорії рівнянь із частками похідними. Їм же уведений клас функціональних просторів і досліджене співвідношення вкладення для просторів. Увів поняття узагальненого рішення рівняння із частками похідними й дав перше (1935) строге визначення узагальненої функції; за допомогою цих понять розглянув деякі крайові завдання для рівняння із частками похідними. В   області  обчислювальної математики  Соболєв увів поняття обчислювальних алгоритмів, що замикаються, дав точну оцінку норм погрішності кубатурных формул.

Ферма Пьер (1601-1665 р.)
Французький математик. Одержав важливі результати в теорії чисел, алгебрі, геометрії, теорії імовірності. Автор ряду видатних робіт. Ферма є одним із творців теорії чисел, з його ім'ям зв'язані велика й мала теореми Ферма. Разом з Декартом є основоположником аналітичної геометрії. В області методу нескінченно малих дав загальне правило диференціювання статечної функції, що поширив на будь-які раціональні показники.

Фур'є Жан Батист Жозеф (1768-1830 р.)
    Французький математик. У праці “Аналітична теорія тепла” (1822р.) вивів диференціальне рівняння теплопровідності й розробив метод його інтегрування при різних граничних умовах. В основі його методу лежить подання функції тригонометричними рядами (рядами Фур'є). Привів перший приклад розкладання в тригонометричні ряди функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. Розвив запропонований Даламбером для рішення хвильового рівняння метод поділу (метод Фур'є) змінних для вивчення завдань про коливання струни й теплопровідності стрижня.

Эйлер Леонард (1707-1783 р.)  
    Математик, фізик, механік, астроном. Народився у Швейцарії. Більше 30 років працював у Петербурзької АН. Список його праць містить близько 850 назв, у їхньому числі кілька багатотомних монографій по всіх основних розділах сучасної йому математиці і її додаткам. Заклав основи декількох математичних дисциплін. Перший систематично ввів у розгляд функції комплексного змінного, вивів (1743) формули, що зв'язують тригонометричні функції з показовими. Эйлер створив, як самостійну дисципліну, теорію звичайних диференціальних рівнянь, і заклав основи теорії рівнянь із частками похідними. Його ім'я носять підстановки Эйлера (1768) при заміні змінних у спеціальних інтегралах, Эйлеровы інтеграли (1731), метод ламаних Эйлера (1768) у чисельному рішенні звичайного диференціального рівняння, Эйлеровы кути (1748) у перетворенні координат, функція й теорема Эйлера (1763) у теорії чисел, пряма Эйлера (1765) у трикутнику, теорема Эйлера для опуклого багатогранника (1758), Эйлерова характеристика різноманіття, завдання Эйлера про Кенигсбергских мости (1736). Позначення: f(x) - 1734; e, ( - 1736; sin(x), cos(x) - 1748; tg(x) - 1753; (x, ( - 1755; i - 1777.